פתרון בגרות 5 יחידות חורף 2012 – משקל העץ בשני יערותגדילה ודעיכה 572 · שיעור 24

בגרות 5 יחידות · שאלון 035807 · חורף 2012 · שאלה 5

שיעור 24 – פתרון בגרות 5 יחידות חורף 2012 – משקל העץ בשני יערות

שאלות בגרות ברמת 5 יחידות

1נוסח השאלה

2סעיף א – מוצאים את הפונקציות

3סעיף ב – מתי יער I עובר את יער II

4סעיף ג – סקיצה של שני הגרפים

5סעיף ד – מתי ההפרש הכי גדול

📄 נוסח השאלה

שאלה 5

משקל העץ בשני יערות, יער I ויער II , גדל עם הזמן לפי פונקציות מעריכיות f(x) = N₀ · a^x ו־g(x) = M₀ · b^x בהתאמה.

העצים בשני היערות ניטעו באותו תאריך.

ביום הנטיעה היו ביער I 10,000 טון עץ, וכעבור שנה היו בו 15,000 טון עץ.

ביום הנטיעה היו ביער II 40,000 טון עץ, וכעבור שנה היו בו 45,000 טון עץ.

📄 נוסח השאלה · המשך

א. מצא את הפונקציה f(x) ואת הפונקציה g(x) .

ב. מצא כעבור כמה זמן מיום הנטיעה יהיה משקל העץ ביער I גדול ממשקל העץ ביער II .

ג. סרטט בקו מלא סקיצה של גרף הפונקציה f(x) , ובקו מרוסק סקיצה של גרף הפונקציה g(x) , החל מיום הנטיעה. ציין מספרים על הצירים.

📄 נוסח השאלה · המשך

ד. כעבור כמה זמן מיום הנטיעה ההפרש בין משקל העץ ביער II למשקל העץ ביער I יהיה הגדול ביותר?

בתשובותיך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

סעיף א – מוצאים את הפונקציות

יער I – ביום הנטיעה x = 0 . נכתוב את הפונקציה ונסמן את מה שנציב:

f(0) = N₀ · a⁰ = 10000

a⁰ = 1

📐 חזקה עם מעריך 0

N₀ = 10000

כעבור שנה – נציב x = 1 ו־f(1) = 15000 :

10000 · a¹ = 15000

📐 חזקה עם מעריך 0

a⁰ = 1

סעיף א – מוצאים את הפונקציות · המשך

10000 · a¹ = 15000

a = 1500010000 = 1.5

f(x) = 10000 · 1.5^x

יער II – באותה דרך: g(0) = M₀ = 40000 .

נציב x = 1 ו־g(1) = 45000 :

40000 · b¹ = 45000

סעיף א – מוצאים את הפונקציות · המשך

40000 · b¹ = 45000

b = 4500040000 = 1.125

g(x) = 40000 · 1.125^x

✅ פתרון סופי: f(x) = 10000 · 1.5^x , g(x) = 40000 · 1.125^x

סעיף ב – מתי יער I עובר את יער II

משקל העץ ביער I גדול ממשקל העץ ביער II כאשר:

f(x) > g(x)

נציב את שתי הפונקציות:

10000 · 1.5^x > 40000 · 1.125^x

נחלק את שני האגפים ב־10000 · 1.125^x (מספר חיובי, ולכן סימן אי־השוויון לא משתנה):

1.5^x1.125^x > 4

📐 חילוק חזקות עם אותו מעריך

aⁿbⁿ = (ab)ⁿ

סעיף ב – מתי יער I עובר את יער II · המשך

1.5^x1.125^x > 4

📐 חילוק חזקות עם אותו מעריך

(1.51.125)^x > 4

(43)^x > 4

קודם נמצא מתי יש שוויון. הנעלם בחזקה:

(43)^x = 4 ⇒ x = ln 4ln 43

📐 כשהנעלם בחזקה

x = 1.386290.28768 ≈ 4.82

📐 חילוק חזקות עם אותו מעריך

aⁿbⁿ = (ab)ⁿ

📐 כשהנעלם בחזקה

a^x = b ⇒ x = ln bln a

סעיף ב – מתי יער I עובר את יער II · המשך

x = 1.386290.28768 ≈ 4.82

הבסיס 43 גדול מ־1, ולכן (43)^x עולה – אחרי נקודת השוויון הוא גדול מ־4:

x > 4.82

✅ פתרון סופי: כעבור יותר מ־4.82 שנים

סעיף ג – סקיצה של שני הגרפים

שתי הפונקציות עולות (הבסיסים 1.5 ו־1.125 גדולים מ־1). f(x) מתחילה ב־(0 , 10000) ו־g(x) מתחילה ב־(0 , 40000) .

נקודת החיתוך: x ≈ 4.82 (מסעיף ב). נציב ב־f(x) :

(מציבים את הערך המדויק של x שנשמר במחשבון)

y = 10000 · 1.5^4.82 ≈ 70,559.57

לפני x = 4.82 הגרף של g(x) מעל הגרף של f(x) , ואחריו מתחת.

הסקיצה – f(x) בקו מלא (בכחול), g(x) בקו מרוסק (בסגול):

סעיף ג – סקיצה של שני הגרפים · המשך

הסקיצה – f(x) בקו מלא (בכחול), g(x) בקו מרוסק (בסגול):

✅ פתרון סופי: הגרפים נחתכים ב־(4.82 , 70,559.57)

סעיף ד – מתי ההפרש הכי גדול

ההפרש בין משקל העץ ביער II למשקל העץ ביער I:

h(x) = g(x) − f(x)

נציב את שתי הפונקציות:

h(x) = 40000 · 1.125^x − 10000 · 1.5^x

מחפשים את המקסימום של h(x) בתחום x ≥ 0 , ולכן גוזרים. כדי לגזור חזקה של 1.125 ושל 1.5 נכתוב אותן בעזרת e :

1.125^x = e^{x · ln 1.125}

📐 בסיס כלשהו בעזרת e

a^x = e^{x · ln a}

סעיף ד – מתי ההפרש הכי גדול · המשך

1.125^x = e^{x · ln 1.125}

📐 בסיס כלשהו בעזרת e

(1.125^x)′ = ln 1.125 · 1.125^x

📐 נגזרת של e בחזקת kx

באותה דרך (1.5^x)′ = ln 1.5 · 1.5^x . לכן:

h′(x) = 40000 · ln 1.125 · 1.125^x − 10000 · ln 1.5 · 1.5^x

משווים את הנגזרת ל־0:

40000 · ln 1.125 · 1.125^x = 10000 · ln 1.5 · 1.5^x

📐 בסיס כלשהו בעזרת e

a^x = e^{x · ln a}

📐 נגזרת של e בחזקת kx

(e^kx)′ = k · e^kx

סעיף ד – מתי ההפרש הכי גדול · המשך

40000 · ln 1.125 · 1.125^x = 10000 · ln 1.5 · 1.5^x

נחלק את שני האגפים ב־10000 · ln 1.5 · 1.125^x :

(1.51.125)^x = 4 · ln 1.125ln 1.5

(43)^x ≈ 1.16196

x = ln 1.16196ln 43

📐 כשהנעלם בחזקה

x = 0.150110.28768 ≈ 0.52

📐 כשהנעלם בחזקה

a^x = b ⇒ x = ln bln a

סעיף ד – מתי ההפרש הכי גדול · המשך

x = 0.150110.28768 ≈ 0.52

סוג הנקודה – נציב בנגזרת ערך לפני ואחרי:

h′(0) = 40000 · 0.1178 − 10000 · 0.4055 ≈ 657 > 0

h′(1) = 40000 · 0.1178 · 1.125 − 10000 · 0.4055 · 1.5 ≈ −782 < 0

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית – ב־x ≈ 0.52 יש מקסימום, וזה המקסימום היחיד בתחום.

✅ פתרון סופי: כעבור 0.52 שנים בקירוב

📌 סיכום התשובות

סעיף א

f(x) = 10000 · 1.5^x
g(x) = 40000 · 1.125^x

סעיף ב

כעבור יותר מ־4.82 שנים

סעיף ג

חיתוך ב־(4.82 , 70,559.57)

סעיף ד

כעבור 0.52 שנים

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא